cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác và ha, hb, hc là 3 chiều cao tương ứng.
CMR: (a+b+c)^2/ha^2 + hb^2 + hc^2 lớn hơn hoặc bằng 4
cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR (a^2+b^2+c^^2)(ha^2+hb^2+hc^2) >=36 với ha, hb, hc là 3 đường cao tương ứng
gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có 3 đường cao tương ứng ha,hb,hc. chứng minh rằng: \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ha^2+hb^2+hc^2}>4\)
Ta có:
\(S=pr=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)
\(\Leftrightarrow p^2r^2=p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\)
\(\Leftrightarrow r^2=\frac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{r^2}=\frac{p}{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\frac{1}{\left(p-a\right)\left(p-b\right)}+\frac{1}{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}+\frac{1}{\left(p-a\right)\left(p-c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{r^2}=4\left(\frac{1}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}+\frac{1}{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}+\frac{1}{\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4r^2}=\frac{1}{c^2-\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2-\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{b^2-\left(c-a\right)^2}\)
\(\ge\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)(áp dụng \(x^2-y^2\le x^2\))
\(\Rightarrow4r^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{r^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}\ge4\left(1\right)\)
Ta lại có
\(S=\frac{a.ha}{2}=pr=\frac{r\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(\Rightarrow ha=\frac{r\left(a+b+c\right)}{a}\)
\(\Rightarrow ha^2=\frac{r^2\left(a+b+c\right)^2}{a^2}\)
Tương tự
\(hb^2=\frac{r^2\left(a+b+c\right)^2}{b^2}\)
\(hc^2=\frac{r^2\left(a+b+c\right)^2}{c^2}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(ha^2+hb^2+hc^2=r^2\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ha^2+hb^2+hc^2}=\frac{1}{r^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ha^2+hb^2+hc^2}\ge4\)
cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c và các đường cao tương ứng ha,hb,hc. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ha^2+b^2+hc^2 / (a+b+c)^2. Khi đó tam giác ABC là tam giác gì ?
Cho tam giác có 3 cạnh là a,b,c. Các đường cao tương ứng là ha, hb, hc. Biết ha+hb, hb+hc, hc+ha tỉ lệ với 5,6,7. Tính a,b,c biết a+b+c = 62cm
cho tam giác abc nhọn và b + c = 2a
c/m a) sin B + sin C = 2 sin A
b) 2/ha = 1/hb = 1/hc ( với ha , hb, hc là độ dài đường cao tương ứng với 3 cạnh )
Gọi a,b,c là các cạnh của 1 tam giác có 3 đường cao tương ứng là ha,hb,hc Chứng minh rằng
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ha^2+hb^2+hc^2}\ge4\)
TAM GIÁC ABC CÓ 3 CẠNH LÀ A, B, C VÀ 3 ĐƯỜNG CAO TƯƠNG ỨNG LÀ Ha,Hb,Hc
(Ha+Hb):(Hb+Hc):(Hc+Ha)=5:7:8
HỎI A,B,C LẦN LƯỢT TỈ LỆ VỚI 3 SỐ NÀO??
Gọi a,b,c là 3 canh của 1 tam giác và ha, hb, hc là các đường cao tương ứng. Chứng minh:
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) = (ha+hb+hc)(1/ha + 1/hb + 1/hc)